Rezonanční jevy v sinusových proudových obvodech.

Oscilační obvod je typickým představitelem rezonančních oscilačních systémů, které hrají důležitou roli ve většině odvětví fyziky – v mechanice jsou to různé typy kyvadel a zvukových rezonátorů (struny, membrány, píšťaly, píšťaly, varhany), v elektrodynamice – oscilační obvody , uzavřené a otevřené rezonátory s rozloženými parametry, v optice – laserové dutiny, Fabry-Perotovy standardy atd. Principy pro popis všech oscilačních systémů jsou natolik obecné, že se teorie oscilací stala samostatným odvětvím fyziky. Studium parametrů, vlastností a charakteristik oscilačního obvodu je proto užitečné považovat za obecný úvod do světa rezonančních oscilačních systémů.

V teorii kmitů se rozlišují dvě třídy jevů – jevy v lineárních a nelineárních oscilačních systémech. Lineární systémy jsou takové, jejichž parametry nezávisí na amplitudě kmitů. Například pro kyvadla to znamená tak malé vibrace, že pružnost pružin a tyčí nezávisí na amplitudě vibrací a napětí závěsného závitu je dáno pouze gravitačními silami. U elektrických oscilačních obvodů musí veličiny jako indukčnost $L$, kapacita $C$ a odpor $R$ zůstat nezávislé na amplitudě proudů a napětí.

Rezonanční systémy mají dvě důležité vlastnosti.

Schopnost selektivně reagovat na vnější zdroje signálu, zvýraznění pouze těch, jejichž frekvence se shodují s vlastní frekvencí oscilačního systému.

Vlastnost ukládání energie kmitů vybuzených vnějším zdrojem, udržování kmitů po určitou dobu po vypnutí vnějšího zdroje.

Oscilační obvod je charakterizován dvěma hlavními parametry: frekvencí vlastních (rezonančních) kmitů $omega _ $ a činitelem jakosti $Q$, který charakterizuje poměr výkonu energie vlastního kmitání ke ztrátám výkonu za periodu. .

Na Obr. 18 ukazuje příklady „paralel“ elektrických a mechanických oscilačních systémů. U elektrických rezonátorů dochází k periodickému přechodu elektrické energie uložené v kondenzátoru $(W_E =frac 12 CU^2),$ na magnetickou energii induktoru $(W_M =frac 12 LI^2)$ a naopak. V kyvadlech dochází k podobnému cyklickému přechodu energie z potenciální (zvednuté zátěže nebo stlačené pružiny) do kinetické a zpět.

Volné vibrace se vyskytují v uzavřeném okruhu bez hnací síly (obr. 19, a). Podle druhého Kirchhoffova zákona můžeme pro takový řetězec napsat: $$ Rcdot I+U_ =-Lcdot frac. $$ Vyjádřením $U_ $ pomocí poplatku $q$ dostaneme rovnici

$$ Rcdot I+Lcdot frac +frac =0 mbox < (SI). >$$ Při diferenciaci s ohledem na čas a při zohlednění rovnosti $I=frac $ dostaneme $$ Lfrac I> > +Rfrac +frac =0 mbox < (SI). >$$ Vydělením $L$ a zavedením zápisů $delta =frac $ a $omega _^ =frac $ získáme obecnou rovnici pro volné kmity lineárního rezonančního systému: $$ I»+2delta , I’+ omega _^ I= 0, $$ kde parametr $delta $ se nazývá tlumení a parametr $omega _ $ je vlastní frekvence neboli frekvence volných oscilací. Lze to vyřešit dosazením $I=Acdot e^ $, což vede k charakteristické rovnici $$ -omega ^ +2iomega , delta +omega _^ =0, $$ s řešením $$ lambda , _ =i, delta pm sqrt Obecné řešení má dvě složky $$ I=Accdot e^ +Bcdot e^ . $$ Konstanty $A$ a $B$ jsou určeny počátečními daty problému, například nábojem $q_ $ nebo napětím na kondenzátoru $U_ $. Povaha počátečních dat je určena konkrétním fyzickým systémem.

Konkrétní příklad obvodu pro buzení volných kmitů v oscilačním obvodu je znázorněn na Obr. 19, b. Kondenzátor $C$ se nabíjí z baterie na napětí $U_ $ (pozice „a“ přepínače) a poté se přepne do bodu „b“. Volné oscilace budou představovat cyklický přechod energie elektrického pole (v kondenzátoru) na energii magnetického pole (v indukčnosti) a naopak.

Dosazením nalezených hodnot $A$ a $B$ získáme obecné řešení pro volné oscilace v obvodu $$ I=ifrac > ^ -delta ^ > > e^ frac ^ -delta ^ > , t> -e^ , t> > . $$

Pokud by se oscilační obvod skládal pouze z ideálních (bezeztrátových) reaktivních prvků (indukčnost $L$ a kapacita $C$), pak by přechod energie z elektrické na magnetickou a zpět probíhal beze ztrát a v obvodu by bylo netlumené volné oscilace s vlastní frekvencí $omega _ =2pi , f=sqrt>.$

Přítomnost aktivního prvku $R$ v obvodu vede k tomu, že se část energie pro každou periodu přemění v teplo a kmity se rozpadají s určitou časovou konstantou $tau$. Roli frekvence v rovnici nyní hraje veličina $omega _

=kvadrat ^ -delta ^ > $, v závislosti na poměru jalového výkonu ke ztrátám na aktivním odporu $R$. V tomto případě není vůbec nutné do obvodu zařazovat samostatný rezistor. Jako takový může působit například ohmický odpor drátu, kterým je navinuta indukční cívka, a také svodový odpor izolantů kondenzátoru. Část energie kmitání může být navíc obvodem vyzařována do okolního prostoru ve formě elektromagnetické vlny. To je základ pro činnost tzv. vázaných obvodů: pokud se v blízkosti daného obvodu nachází další oscilační obvod, pak v něm „indukují“ (vznikají) kmity v důsledku toho, že část energie se transformuje z prvního obvodu do druhého. Energie se přenáší střídavým elektromagnetickým polem vznikajícím kolem prvního obvodu.

Pokud je útlum malý, tj. $delta

t=-I_ e^ sin omega _

t. $$ V tomto případě se rezonanční frekvence blíží přirozené frekvenci: $$ omega _

=kvadrat přibližně omega _ vlevo (1-frak frac vpravo). $$ Při nízkém útlumu se tedy rezonanční frekvence prakticky shoduje s vlastní frekvencí, ale kmity nejsou harmonické. Pro harmonické kmity musí být splněna podmínka $Ileft(tright)=Ileft(t+Tright)$, kde $T$ je perioda kmitání. V našem případě $Ileft(tright)≥ Ileft(t+Tright)$ a o periodě lze hovořit pouze jako o době, po které se nuly funkce opakují (obr. 20). V tomto smyslu budeme níže používat termín „perioda kmitání“.

Představme si pojmy jakostní faktor $Q$ a logaritmický úbytek $gama$ obvodu. Z poměru amplitud $n$-té a $(n + k)$-té oscilace je roven $I_ I_^ = e^$, kde $T=2, pi omega ^ $ je perioda oscilace („opakování nul“). Logaritmický dekrement tlumení $gamma $ je množství $$ gamma =delta , T=frac ln frac =ln frac > . $$ Z rovnice pro proud je zřejmé, že hodnota $delta $ je nepřímo úměrná době, během které se amplituda kmitů zmenší $e$ krát. Z poslední rovnice vyplývá, že útlumový úbytek $gamma $ ukazuje pokles amplitudy za dobu kmitání: $$ gama =delta , T=frac Logaritmický koeficient útlumu jasně souvisí s dalším, běžnějším parametrem charakterizujícím oscilační systém, a to s faktorem jakosti $Q$.

Činitel jakosti obvodu $Q$ je určen vztahem $$ Q=frac L> =frakce CR> =frac, $$ kde $rho =sqrt $ (SI). Fyzikální význam činitele jakosti je poměr energie uložené v obvodu k energii ztracené během periody kmitání $$ Q=omega cdot frac, $$ z čehož lze zjistit vztah činitele jakosti k dalším parametrům obvodu $$ Q=frac =frakce =frakce =omega frakce mbox < (SI).>$$

Experimentálně se činitel jakosti určí z rezonanční křivky jako podíl rezonanční frekvence $omega _

$ do frekvenčního pásma $2cdot Delta omega $, definovaného na úrovni $U_ =pm frac>$: $$ Q=frac > =frakce> , $$ kde $U_

$ je amplituda kmitání při rezonanční frekvenci obvodu. Veličina $rho =sqrt$ se nazývá charakteristická (vlnová) impedance obvodu.

Při velkém útlumu, tzn. pro $delta >omega _ $ je hodnota $omega _^ -delta ^ $ záporná, její kořen je imaginární. Takový případ se nazývá aperiodický proces. Obecné řešení, podobné tomu získanému dříve, bude mít tvar $$ I=-frac > e^ mboxsqrt <(delta ^-omega _^ )>, t. $$ Graf této funkce je na Obr. 21. Kritická podmínka, při které se tlumené oscilace transformují na aperiodický proces, je podmínka $delta =omega _ $. V tomto případě má řešení obecné rovnice tvar $$ I=-frac (omega t)e^ , =-frakce t, e^. $$ Zbývá dodat, že podobné parametry lze zavést pro jakýkoli rezonanční oscilační systém bez ohledu na jeho fyzikální povahu (systémy mechanické, termodynamické, elektromagnetické, optické, aero- a hydrodynamické).

Nucené vibrace

Oscilační obvod diskutovaný v předchozí části byl uzavřený elektrický obvod, ve kterém dochází k volným vibracím.

V případě nucených kmitů musíme do obvodu dodávat elektrickou energii z vnějšího zdroje (generátoru). Existuje mnoho způsobů, jak připojit zdroj vnější energie k obvodu, který sestává z jedné nebo druhé kombinace dvou hlavních: v otevřeném obvodu (obr. 22, a) nebo paralelně s kapacitní a indukční větví obvodu. obvod (obr. 22, b). V závislosti na způsobu zapojení se rozlišují sériové (obr. 22, a) a paralelní (obr. 22, b) oscilační obvody. Mají různé požadavky na přizpůsobení mezi generátorem a zátěží. Proto je nutné odlišit vlastní parametry obvodu od parametrů zatíženého obvodu, získaných s ohledem na vliv generátoru a „zátěže“ (vstupní odpor obvodu, ve kterém je obvod zapojen). V paralelním obvodu (obr. 22,b) dochází k rezonanci proudu. Pro jeho udržení jako hnací síly je nutné použít stabilní generátor proudu. V sériovém obvodu (obr. 22, a) je napěťová rezonance a pro její udržení je nutné použít externí generátor stabilního napětí.

Nucené kmity v sériovém obvodu, napěťová rezonance

Kirchhoffův zákon, který nám umožňuje studovat procesy v obvodu (obr. 22,a) v závislosti na frekvenci, se zapisuje ve tvaru $$ U=U_ +U_ +U_ =IR+iI(omega L-frak )=Icdot Z. $$ Obvod představuje nějaký komplexní odpor pro generátor $$ Z=R_L +icdot (omega L-frak ), $$ $$ vlevo|Zvpravo| = čtvereční )^2>, mboxvarphi =frakce > $$ kde $left|Zright|$ je modul komplexního odporu; $R_$ je ohmický odpor cívky; $varphi $ je fázový posun mezi aktivním a jalovým odporem, rovný fázovému posunu mezi proudem $I$ v obvodu a vstupním napětím $U$.

Z posledního výrazu je zřejmé, že odpor obvodu bude minimální a roven aktivnímu odporu $R_ $ při určité frekvenci $omega _ $, určené podmínkou $$ omega _0 L=frac , mbox < kde >omega _ =frac> mbox < (SI).>$$ Na rezonanční frekvenci je tedy odpor obvodu minimální, čistě aktivní a proud v obvodu je ve fázi se vstupním napětím (napětím generátoru). Ve skutečnosti je to definice rezonance v sériovém oscilačním obvodu.

Pro praktické účely je zajímavé studovat chování napětí na jalových prvcích obvodu v závislosti na frekvenci generátoru a určit jeho činitel jakosti $Q$.

Protože fáze $U_ $ a $U_ $, bez ohledu na frekvenci, jsou vždy posunuty vzhledem k proudu $I$ o $+$ a $-90^$, postačí studovat frekvenční závislost jejich modulů. To lze provést na základě rovnic $$ U_ =IR, U_ =Iomega L, U_ =frac , I=frak. $$

Jako příklad rozvineme rovnice pro $I$ a $U_ $. Použitím konceptu činitele jakosti $Q=left(omega _ RCright)^$ zavedeného pro volné kmity získáme následující výraz pro proud v sériovém obvodu: $$ I=frac +(omega L-frac )^ > > =frak frak -frakce )^ > > . $$ Pak napětí na indukčnosti bude rovno $$ U_ =omega LI=Ufrac > -frakce )^ > > . $$

Podobnou rovnici lze získat pro napětí na $C$. Při $omega =omega _ $ budou napětí na $L$ a $C$ rovna $U_ =U_ =Qcdot U$, tzn. $Q$ krát hnací emf napětí.

Ve skutečnosti jsou napěťová maxima na prvcích $L$ a $C$ o něco vyšší a posunutá od rezonanční frekvence a jsou vyjádřena následujícími vztahy: $$ omega _ =omega _ sqrt C> > > =omega _ sqrt <2-left(frac<1>right)^ > > , omega _ =frakce $$

Když činitel jakosti obvodu $Q ge 10$, posun frekvencí maxim $U_ $ a $U_ $ vzhledem k rezonanční frekvenci $omega _ $ nepřekročí 1% a experimentálně rezonanční frekvence a činitel jakosti lze určit z rezonanční křivky libovolného z napětí $U_ $ a $U_ $ . Napětí na jalových prvcích $U_ $ a $U_ $ při $omega =omega _ $ je $Q$ krát větší než vstupní napětí $U$, proto se rezonance v sériovém obvodu nazývá napěťová rezonance.

Je důležité poznamenat, že pro naši analýzu je podstatné, že samotné vstupní napětí $U$ nezávisí na frekvenci. Jinak by všechny parametry závisely nejen na samotném obvodu, ale také na parametrech zdroje signálu. Jak bylo ukázáno v předchozím odstavci, výstupní odpor generátoru musí být mnohem menší než $R$.

Nucené kmity v paralelním obvodu, proudová rezonance

Schéma zapojení paralelního obvodu je na Obr. 21, b. Kvůli složité povaze zátěže je proud generátoru komplexní hodnotou. Proto proudový modul $I$ může být menší než nejen součet proudových modulů indukční a kapacitní větve obvodu, ale také každého z nich samostatně. To je přesně to, co se děje během rezonance v paralelním obvodu: proudy v indukční a kapacitní větvi obvodu jsou $Q$ krát větší než proud odebíraný z generátoru proudu. Proto se rezonance v paralelním obvodu nazývá proudová rezonance.

Komplexní odpor paralelního obvodu je roven $$ Z=frac Z_ > +Z_ > = frac <(R_ +iomega L)(iomega C)^>+i(omega L-(omega C)^ )> přibližně frac +i(omega L-(omega C)^)> . $$

Zanedbali jsme hodnotu $R_ $ v čitateli, protože je $Q$ krát menší než indukční reaktance, ale to nelze provést ve jmenovateli, protože při rezonanci má hodnota v závorkách tendenci k nule.

Rezonanční podmínka pro paralelní obvod je stejná jako pro sériový obvod – rovnost jalových odporů větví s $L$ a $C$: $$ omega _ L=frac , mbox < kde >omega _ =frac > mbox < (SI). >$$ Při rezonanci se tedy odpor obvodu stává čistě aktivním a rovná se $$ R_ =frac < C R_>=frac > , $$ kde — $rho =sqrt $ je charakteristická impedance obvodu.

Odpor $R_ $ nemá v obvodu samostatný fyzikální ekvivalent, ale je kombinací vlnového odporu $rho $ a ztrátového odporu $R_ $. Proto netvoří samostatnou větev paralelního obvodu a nerozvětvuje proud do sebe. Proto to někam „přenášet“ nebo k něčemu „připojovat“ (např. k vnitřnímu odporu zdroje proudu) je nesmyslné. Ve schématu jde jednoduše o symbolické označení toho, že na rezonanční frekvenci představuje paralelní oscilační obvod pro externí generátor nějaký čistě činný odpor o hodnotě $R_ $ a ve vzorcích jde o symbolické znázornění určitého kombinace $rho $ a $R_ $, daná posledním vzorcem.

Činitel jakosti paralelního obvodu $$ Q=frak > =frakce omega _ C> =frakce > =R_ sqrt > . $$

Vlastní parametry paralelního obvodu, tzn. rezonanční frekvence $omega _ $ a činitel jakosti $Q$ budou stejné jako v sériovém obvodu se stejnými $C$, $L$ a $R_.$

Rezonance je režim činnosti obvodu, který obsahuje indukční a kapacitní prvky, ve kterých je jeho vstupní odpor (vstupní vodivost) skutečný. Důsledkem toho je, že proud na vstupu obvodu je ve fázi se vstupním napětím.

Rezonance v obvodu s prvky zapojenými do série
(napěťová rezonance)

Pro obvod na obr. 1 máme

V závislosti na poměru množství a jsou možné tři různé případy.

1. V obvodu převládá indukčnost, tzn. , a proto

. Tento režim odpovídá vektorovému diagramu na Obr. 2, a.

2. Obvodu dominuje kapacita, tzn. , což znamená . Tento případ se odráží ve vektorovém diagramu na obr. 2, b.

3. – případ napěťové rezonance (obr. 2, c).

Stav napěťové rezonance

Navíc, jak vyplývá z (1) a (2), .

Při napěťové rezonanci nebo jí blízkých režimech se proud v obvodu prudce zvyšuje. V teoretickém případě má při R=0 jeho hodnota tendenci k nekonečnu. Podle nárůstu proudu rostou napětí na indukčních a kapacitních prvcích, která mohou být mnohonásobně vyšší než napětí napájecího zdroje.

Nechť například v obvodu na Obr. 1. Poté , a v souladu s tím .

Fenomén rezonance nachází užitečné uplatnění v praxi, zejména v radiotechnice. Pokud se však objeví spontánně, může to vést k nouzovým stavům v důsledku výskytu velkých přepětí a nadproudů.

Fyzikální podstata rezonance spočívá v periodické výměně energie mezi magnetickým polem induktoru a elektrickým polem kondenzátoru a součet energií pole zůstává konstantní.

Podstata věci se nemění, pokud je v obvodu více indukčních a kapacitních prvků. V tomto případě je skutečně splněn vztah (3) pro ekvivalentní hodnoty L E a CE.

Jak ukazuje analýza rovnice (3), rezonančního režimu lze dosáhnout změnou parametrů L a C, jakož i frekvence. Na základě (3) pro rezonanční frekvenci můžeme psát

Rezonanční křivky jsou závislosti proudu a napětí na frekvenci. Jako příklad na Obr. 3 ukazuje typické I(f) křivky; a pro obvod na obr. 1 při U=konst.

Důležitou charakteristikou rezonančního obvodu je činitel jakosti Q, určený poměrem napětí na indukčním (kapacitním) prvku ke vstupnímu napětí:

– a charakterizující „selektivní“ vlastnosti rezonančního obvodu, zejména jeho propustného pásma.

Dalším parametrem rezonančního obvodu je charakteristická impedance, vztahující se k činiteli jakosti vztahem

nebo s přihlédnutím k (4) a (5) můžeme napsat:

Rezonance v obvodu s paralelně zapojenými prvky
(aktuální rezonance)

Pro obvod Obr. 4 máme

V závislosti na poměru hodnot a, jako v případě sériového připojení prvků diskutovaných výše, jsou možné tři různé případy.

V obvodu dominuje indukčnost, tzn. , a proto, . Tento režim odpovídá vektorovému diagramu na Obr. 5, a.

Obvodu dominuje kapacita, tzn. , což znamená . Tento případ je znázorněn vektorovým diagramem na obr. 5, b.

– případ proudové rezonance (obr. 5, c).

Aktuální rezonanční stav popř

Navíc, jak vyplývá z (8) a (9), . Při proudové rezonanci je tedy vstupní vodivost obvodu minimální a vstupní odpor naopak maximální. Zejména při absenci obvodu na Obr. 4 rezistoru R, jeho vstupní odpor v rezonančním režimu tíhne k nekonečnu, tzn. při proudové rezonanci je proud na vstupu obvodu minimální.

Identita vztahů (3) a (5) ukazuje, že v obou případech je rezonanční frekvence určena vztahem (4). Výraz (4) by se však neměl používat pro žádný rezonanční obvod. Platí pouze pro nejjednodušší obvody se sériovým nebo paralelním zapojením indukčních a kapacitních prvků.

Při určování rezonanční frekvence v obvodu libovolné konfigurace nebo obecně poměru parametrů obvodu v rezonančním režimu by se mělo vycházet z podmínky, že vstupní odpor (vstupní vodivost) obvodu je skutečný.

Například pro obvod na Obr. 6 máme

Protože v rezonančním režimu musí být imaginární část rovna nule, má podmínka rezonance tvar

kde je zejména rezonanční frekvence.

Rezonance ve složitém obvodu

Rezonanční podmínka pro složitý obvod se smíšeným zapojením několika indukčních a kapacitních prvků, která spočívá v rovnosti imaginární části vstupního odporu nebo vstupní vodivosti k nule, určuje přítomnost rovnic odpovídajících této podmínce vzhledem k několika skutečné kořeny, tzn. Takové obvody odpovídají několika rezonančním frekvencím.

Při určování rezonančních frekvencí pro reaktivní dvoukoncovou síť by analytické vyjádření její vstupní reaktance nebo vstupní reaktivní vodivosti mělo být prezentováno jako poměr dvou polynomů v mocninách, tzn. nebo . Potom kořeny rovnice poskytnou frekvenční hodnoty, které odpovídají napěťovým rezonancím, a kořeny rovnice dají frekvenční hodnoty, při kterých dochází k proudovým rezonancím. Celkový počet rezonančních frekvencí v obvodu je o jednu menší než počet indukčních a kapacitních prvků v obvodu získaný z původního jeho redukcí na obvod (pomocí ekvivalentních transformací) s minimálním počtem těchto prvků. Charakteristické je v tomto případě to, že se střídají režimy napěťových a proudových rezonancí.

Jako příklad určíme rezonanční frekvence pro obvod na Obr. 7. Výraz pro vstupní odpor tohoto obvodu je

Z řešení rovnice získáme frekvenci odpovídající napěťové rezonanci a z řešení rovnice frekvenci odpovídající rezonanci proudu.

1. Základy teorie obvodů: Učebnice. pro univerzity / G.V. Zeveke, P.A. – 5. vyd., revidováno. –M.: Energoatomizdat, 1989. -528 s.
2. Bessonov L.A. Teoretické základy elektrotechniky: Elektrické obvody. Učebnice pro studenty elektrotechnických, energetických a přístrojových specializací vysokých škol. –7. vyd., revidováno. a doplňkové –M.: Vyšší. škola, 1978. –528 s.

1. Co je napěťová rezonance a jak se vyznačuje?
2. Co je proudová rezonance, jak je charakterizována?
3. Jaká je fyzikální podstata rezonančních vidů?
4. Na základě jakých podmínek se v obecném případě určují rezonanční frekvence?
5. V obvodu na Obr. 1 R = 1 Ohm; L = 10 mH; C=10 uF. Určete rezonanční kmitočet a činitel jakosti obvodu. Odpověď: .
6. Jaké podmínky jsou nutné a dostatečné pro obvod na Obr. 1 byl vztah splněn?
7. Určete rezonanční kmitočet pro obvod na Obr. 7, pokud je kondenzátor C3 nahrazen rezistorem R3. Odpověď: .